Mathe (Stochastik) Verstehen?
Nr.1
In einem fernen Land ist ein Falschspieler zu 2 Jahren Kerker verurteilt worden. Der Landesfürst lässt ihm noch eine Chance, da der Spieler zum ersten Mal gegen das Gesetz verstoßen hat. Der Falschspieler muss mit verbundenen Augen eine von drei Urnen auswählen(Abb.). Anschließend muss er aus dieser Urne eine Kugel ziehen. Ist diese weiß, so wird er begnadigt.
a) Welche Begnadigungschance hat der Falschspieler?
b) Kann er seine Chance verbessern, wenn ihm vor der Prozedur gestattet wird, alle vorhandenen Kugeln völlig beliebig auf die Urnen aufzuteilen?
4 Antworten
1. Urne: 3 Weiße und 3 Schwarze
2. Urne: 4 Weiße und 2 Schwarze
3. Urne: 5 Weiße und 1 Schwarz
Okay, dann schauen wir mal, was der Falschspieler für Möglichkeiten hat:
1. Er wählt Urne 1 aus:
Die Chance, Urne 1 auszuwählen, ist 1/3. Die Chance, eine weiße Kugel aus dieser Urne zu ziehen, ist 1/2. Beides wird multipliziert --> man landet bei 1/6. Die Chance, Urne 1 zu wählen und dann eine weiße Kugel zu ziehen, ist also 1/6.
2. Er wählt Urne 2:
Die Chance, diese Urne zu wählen, ist ebenfalls 1/3. Die Urne enthält 4 weiße Kugeln, 6 sind es insgesamt --> die Chance, eine weiße Kugel zu ziehen, ist 4/6 = 2/3. Beides multipliziert --> die Chance, Urne 2 zu wählen und dann eine weiße Kugel zu ziehen, ist also 2/9
3. Er wählt Urne 3:
Die Chance für Urne 3 ist 1/3, die für eine weiße Kugel dann 5/6 --> ergibt 5/18 insgesamt.
Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten, eine weiße Kugel zu ziehen: 1/6 + 2/9 + 5/18 = 12 /18 = 2/3.
Seine Begnadigungschance beträgt also 2/3. Und das wird immer so bleiben, egal wie er die Kugeln auf die Urnen aufteilt. Probier aus, was du willst. Am Ende ist seine Chance auf Begnadigung 2/3, also 66%. Damit hast du Aufgabe B auch gelöst ;-)
Frage a) Die Wahrscheinlichkeit ist immer "Anzahl weiße Kugeln : Anzahl Kugeln insgesamt". Egal wieviele Urnen, egal wieviele Farben
Frage b): Wenn "beliebig" beinhaltet, dass er bewusst und mit offenen Augen in eine der Urnen auch alle weißen Kugeln reinschmeißen darf (und nur diese) dann natürlich ja, denn dann ist die Wahrscheinlichkeit bei 100%, sofern die Positionen der Urnen nicht wechseln, wenn der die Augen verbunden bekommt.
Vermutlich ist aber gemeint, dass er mit verbundenen Augen die Kugeln in die Urnen aufteilen muss ohne sie zu sehen. In diesem Fall ändert sich gar nichts. Die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel ist immer "Anzahl weiße Kugeln : Anzahl Kugeln gesamt".
Habe ich Dir doch aufgeschrieben! Die Wahrscheinlichkeit ist "Anzahl weiße Kugeln" : "Gesamtzahl Kugeln". Es ist egal wieviele Töpfe es sind. Das ändert die Wahrscheinlichkeit nicht.
1. Urne: 3 Weiße und 3 Schwarze
2. Urne: 4 Weiße und 2 Schwarze
3. Urne: 5 Weiße und 1 Schwarz
Das ist für ihn aber günstig! Aber völlig egal. Die Wahrscheinlichkeit ist und bleibt bei 12 / 18, also 2/3. Somit hat er 66% Gewinnchance. Es ist unerheblich wieviele Urnen es sind und wieviele Kugeln in welcher Urne sind. Du könntest die auch alle in einen Topf legen oder alle in Reihe auf den Boden legen. Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer gleich.
Wie viele Kugeln sind in einer Urne? Wie viele sind davon weiß?
Wieviele Kugeln es pro Urne sind ist egal. Entscheidend ist nur das Verhältnis von weißen zu nicht-weißen Kugeln.
Und was braucht man wohl um dieses Verhältnis zu berechnen? Richtig, die Anzahl der Kugeln.
Und was braucht man nicht, um ein Verhältnis zu formulieren? Richtig. Konkrete Zahlen.
Das sind Matheaufgaben....Bei solch einer Art habe ich noch nie gesehen, dass das Verhältnis mit angegeben wurde.
Bleib also mal ganz unruhig.
Du hast es nicht verstanden. Wie fändest Du die Formulierung "Anzahl weiße Kugeln geteilt durch Gesamtzahl der Kugeln"? Siehst Du hier eine Zahl? Oder ein "Verhältnis" angegeben? Und dennoch ist das die korrekte Lösung, wenn man die tatsächlichen Zahlen dann einfach selber einsetzt. Und schon hat man eine ganz allgemeine Lösung formuliert.
Und ich bin ruhig.
hab ich als Kommentar stehen, kannst du mir bitte helfen
1.Urne: 3 Weiße, 3 Schwarze 2.Urne: 4 Weiße, 2 Schwarze 3.Urne: 5 Weiße, 1 Schwarz wie muss ich das jz berechnen? ich versteh das über nicht