Darf mein Arbeitgeber mir verbieten meine erfolgte Kündigung den Kolleginnen und Kollegen mitzuteilen und welche Folgen gäbe es für mich bei Zuwiderhandlung?

Dein AG kann Dir nicht verbieten den Kolleginnen zu erzählen, dass Du gekündigt hast.

Was sollte das für einen Sinn ergeben? Wenn man intern Deine Stelle nicht besetzen kann/will, gibt es sowieso Stellenanzeigen und bei interner Versetzung fällt das auch auf.

Arbeitsrechtliche Konsequenzen brauchst Du auf alle Fälle nicht zu fürchten, wenn Du mit den Kollegen sprichst

Nein. Das ist kein "Betriebsgeheimnis", sondern deine persönliche Angelegenheit, über die du gerne mit jedem reden kannst.

Wenn dein Betrieb das lieber verheimlichen möchte, würde ich mich eher fragen, welche Gründe das hat. Verhindern kann er es zumindest nicht.

Nein, darf er nicht!
Du darfst es erzählen.
Und sie merken doch eh, dass da einer fehlt!