Darf ich in meine Wohnungstür Löcher bohren?

Wenn du ein Zweites Schloss einbauen willst, oder eine Türspion, dann wird wahrscheinlich kein Vermieter was dagegen haben. Natürlich musst du die Dinge dann dem Vermieter beim Auszug überlassen, die Tür mit Löchern wird wohl kaum akteptiert. Und sachgerecht installiert muss es sein .. wenn du Murks machst und die Tür schliesst nicht mehr richtig ... dann zahlst du für den Fachbetrieb oder ggfs neue Tür. 

Aber das einfachste ist: vorher fragen, dann gibts auch garantiert keinen Ärger beim Auszug. Verbieten kann er das eigentlich nicht, weil sowas "normale Nutzung" der Wohnung ist und ja begründet (Sicherheit) ist.

Ja sicher , nur wenn du ausziehst, muss die Tür u.U.ausgebessert werden.

Wenn das für eine Sicherungskette ist, dann kannst du den Vermieter fragen

ob er damit einverstanden ist.

Es ist nur Dein Tür, wenn Du eine Neue kaufst und diese dann dem Vermieter überlässt. Die alte Tür gehört dann Dir.

Ansonsten ist es eine Tür, die zur Mietsache gehört und die von Dir nicht beschädigt werden darf.

Nur mit Erlaubnis des Vermieters. Ohne wäre es Sachbeschädigung und führt zu Schadenersatzforderung.

Eine Mietwohnung ist bei Auszug so zu überlassen wie sie bei Einzug war, abgesehen von normaler Abnutzung. Alle Beschädigungen die man während der ZEit der des Mietverhältnisses anrichtet müssen zum Auszug wieder instand gesetzt werden. (Dübellöcher in Decken und Wänden, beschädigte Türen oder Türrahmen, beschädigte Sanitäranlagen, beschädigte Fliesen Fußböden oder Deckenverkleidungen usw.)
Alle Veränderungen die Du an der Mietsache vornimmst bedürfen der Zustimung der Vermieter oder sind nach Auszug in Stand zu setzen.... so auch Bohrungen in der Tür.