Darf der Arbeitgeber verlangen das ich den Schlüssel nach der Kündigung persönlich vorbei bringe?

Ja ich würde das persönlich machen. Mit Unterschrift das man den auch abgegeben hat. Und dann mit erhobenen Haupt rausgehen.

Wenn es dir nachweislich aus gesundheitlichen Gründen nicht möglich ist, die Frist einzuhalten, dann teile dies mit. Dennoch befreit dich auch eine Verlängerung der Frist nicht von der Pflicht den Spindschlüssel abzugeben. Geh hin, gib das Ding ab und ganz wichtig: lass es dir quittieren!

Wieso war der Brief zerstört und was hat das mit dem Schlüssel zu tun?

Bist du denn bettlägerig krank geschrieben? Falls ja, dann ruf dort an und sag denen, dass du den Schlüssel danach bringst.

Ich würde den Schlüssel auf jeden Fall persönlich abgeben und mir das auch schriftlich bestätigen lassen. Ansonsten geht der Schlüssel wohlmöglich noch verloren und du musst ihn bezahlen.

Na ja, wenn du es als normalen Brief schickst, kann er halt nachher behaupten, dass er den Schlüssel gar nicht erhalten hat und du musst die Kaution zahlen. 
Ich würde den persönlich vorbeibringen/ vorbei bringen lassen und ne Bestätigung ausstellen lassen. 

Besser ist es für dich auf jeden Fall, wenn du den Schlüssel persönlich dort abgibst.

Wenn du ihn mit der Post schickst, dann kann er auch verloren gehen.

Wichtig ist, das du dir den Empfang vom Arbeitgeber schriftlich bestätigen lässt.

Wenn die Frist bis zum 30.09.2016 geht, dann reicht es auch wenn du den Schlüssel am 30.09.2016 dort abgibst.