Darf ein Lehrer, wenn er herausfindet, dass sein Schüler geschlagen wird, und der Schüler nicht will, das das Jugendamt oder seine Eltern informiert wird gehen?

Ja, das darf und muss der Lehrer sogar. Zur Not auch gegen den Willen des Schülers. 

Ja, hat auch etwas mit Aufsichtpflicht zu tun (bin mir nicht ganz sicher, weiß es nicht mehr ganz genau) aber defintiv ja, dass sollte der Lehrer defintiv. "Unterlassene hilfeleistung"

manchmal weiß man selbst nicht was das beste für einen ist.

Normalerweise sollte jeder Mensch eine Straftat dieser Art melden. 

Er muss sogar. Ein Lehrer darf nicht einfach weggucken wenn er von häuslicher Gewalt erfährt

(nicht nur Lehrer übrigens. Gilt eigentlich für alle)

Das muss er sogar. Sonst macht er sich der unterlassenen Hilfeleistung schuldig.