Wenn Du im gesamten Jahr 2019 kein Arbeitslosengeld (und auch keine andere Lohnersatzleistung, wie z. B. Krankengeld) erhalten hast, musst Du bei der Steuererklärung lediglich beachten, in der Anlage N bei "Zeiten und Gründe der Nichtbeschäftigung" einzutragen:
--> 01.11. - 31.12. Arbeitslosigkeit ohne Leistungsbezug

Ansonsten alles ganz normal angeben!

Da im SGB II das Zuflussprinzip (nicht das Entstehungsprinzip) gilt, wird Dein Dezember-Gehalt im Januar angerechnet. Wenn es Deinen Bedarf (Regelbedarf plus Kdu/Heizung) abzüglich der gesetzlichen Freibeträge übersteigt, hast Du für Januar keinen Anspruch auf Hartz IV. Das ist leider so.

Falls das Februar-Gehalt noch im Februar auf Deinem Konto eingehen würde, könntest Du den neuen Arbeitgeber evtl. bitten, dieses erst am 01. Februar zu überweisen. So hättest Du zumindest für Februar einen ALG-II-Anspruch.

Auf jeden Fall musst Du dem Jobcenter den neuen Job spätestens bis zum Stellenantritt melden, damit Du nicht gegen Deine Mitwirkungspflicht verstößt.

Vielleicht hast Du ja Glück und der Antrag wird schon in den nächsten Tagen bearbeitet und damit auch die Februar-Zahlung angewiesen. Ansonsten könnte es sein, dass das Jobcenter erstmal nicht zahlt - bis Du belegt hast, dass Du im Februar tatsächlich keinen Gehaltszufluss hattest.

Wenn er seinen Anspruch auf ALG I vor Beginn der 6monatigen Beschäftigung bereits aufgebraucht hatte, wird er jetzt keinen Anspruch auf ALG I haben, da er mindestens wieder 12 Monate versicherungspflichtig beschäftigt gewesen sein muss, um für 6 Monate einen neuen ALG-I-Anspruch zu haben.

Die "Anspruchsdauer bei kurzer Anwartschaftszeit" greift meiner Ansicht nach in diesem Fall nicht, da hierfür 4 Bedingungen erfüllt sein müssen, von denen die 2. ("es sich überwiegend um Beschäftigungsverhältnisse gehandelt hat, die von Vornherein auf nicht mehr als sechs Wochen befristet waren") nach dem hier geschilderten Sachverhalt nicht zutrifft.

http://www.arbeitsagentur.de/nn_25638/zentraler-Content/A07-Geldleistung/A071-Arbeitslosigkeit/Allgemein/Anwartschaftszeit.html

Was heißt "azubi ende der 2 monat"? Du bist Azubi und Ende des 2. Monats schwanger?

Als ALG2-Empfänger hat man neben den "normalen" Leistungen ggf. Anspruch auf sogenannte "Einmalige Leistungen". Dazu gehört auch die Erstausstattung für Bekleidung und Erstausstattung bei Schwangerschaft und Geburt.

Also am Besten so schnell wie möglich zum Jobcenter und beraten lassen bzw. Antrag stellen.