Wie lange besteht mein Anspruch, geliehenes Geld zurückzubekommen?

Für den Beginn der Verjährungsfrist kommt es darauf an, wann der Anspruch entstanden ist (§ 199 Abs. 1 BGB). Bei einem Kredit entsteht der Anspruch auf Rückzahlung in dem Moment, in dem der Kredit gegeben wurde. Der Anspruch verjährt gemäß der regelmäßigen Verjährungsfrist (§ 195 BGB). Diese beträgt drei Jahre. Sie beginnt gemäß § 199 Abs. BGB mit dem Ablauf des Jahres, in dem der Anspruch entstanden ist, soweit nicht ein anderer Verjährungsbeginn bestimmt ist. Letzteres ist bei dir nicht der Fall.

Dein Rückzahlungsanspruch ist also eigentlich mit Ablauf des Jahres 2002 verjährt ...

Der Kreditnehmer hätte sich daher ab dem Jahre 2003 auf den Eintritt der Verjährung berufen und damit die Rückzehlung verweigern können.
Das aber hat er nicht getan. Statt dessen hat er angefangen, deinen Anspruch zu befriedigen. Das war aus seiner Sicht (sofern er eigentlich nicht zahlen wollte) ein Fehler und dein Glück. Denn es gilt (aus dem BGB):

§ 212 Neubeginn der Verjährung
(1) Die Verjährung beginnt erneut, wenn
1. der Schuldner dem Gläubiger gegenüber den Anspruch durch Abschlagszahlung, Zinszahlung, Sicherheitsleistung oder in anderer Weise anerkennt oder (...)

Durch jede gezahlte Rate beginnt also die dreijährige Verjährungsfrist von Neuem. Somit hast du also nun Zeit genug (nämlich 3 Jahre seit der jüngsten Ratenzahlung), deinen Anspruch weiter zu verfolgen.

Guck mal bei www.helpster.de/darlehen-die-verjaehrung-privater-darlehen-verstaendlich-erklaert_109290#zur-anleitung

Zitat daraus: "... dass eine Verjährung niemals eintreten kann, bevor die Rückzahlung nicht fällig geworden ist."

Die Verjährungsfrist beträgt drei Jahre, beginnend mit dem Ende des Jahres, in dem die Rückzahlung fällig geworden ist.

Das Datum der Fälligkeit ist fraglich. Der Betrag war nicht fällig bei Vertragsschluss im Jahr 1999, denn das Geld sollte ja dem Darlehnsnehmer zur Verfügung stehen.

Des weiteren wurde keine Frist gesetzt, zu dem der Betrag fällig sein sollte.

Entweder man nimmt den Zeitpunkt an, zu dem die erste Rate gezahlt wurde, oder den Zeitpunkt, zu dem nach diesen Ratenzahlungen mit der letzten Rate zu rechnen ist, oder man geht davon aus, dass die Fälligkeit dann vorliegt, wenn Du den Betrag einforderst.

Egal, von welchem dieser Zeitpunkte man ausgeht: Deine Forderung ist noch nicht verjährt.

Da hast Du aber Glück gehabt. Durch die Ratenzahlung wurde die Verjährung aufgehoben und begann neu. Nun muss er zahlen :-) Guck hier - insbesondere unter Punkt 3: http://www.cawin.de/cawin_infothek/source/newtopic15.html

teile schriftlich mit,dass sie ab sofort wieder 20€ pro monat zahlen soll oder du gerichtliche schritte einleitest.

war relativ ungeschickt keine Frist zu schreiben, aber eine Verjährung gilt nur wenn eine Frist steht und Du reklamierst nicht.