Darf ich meinen Führerschein in einem anderen Bundesland machen?

FeV

§ 73

(2) Örtlich zuständig ist, soweit nichts anderes vorgeschrieben ist, die Behörde des Ortes, in dem der Antragsteller oder Betroffene seine Wohnung, bei mehreren Wohnungen seine Hauptwohnung, hat (§ 21 Absatz 2 des Bundesmeldegesetzes, in der jeweils geltenden Fassung),

Ja kannst du. Deine Fahrerlaubnisbehörde muss hiervon in Kenntnis gesetzt werden! Ausgestellt wird von der Fahrerlaubnisbehörde deines Kreises.
So liefs zumindest bei mir, ich habe auch woanders gemacht.

Natürlich, wie soll das denn sonst funktioniert haben. 

Wenn einer im Tiefsten Bayern wohnt und dort den FS gemacht hat und Jahre später nach Schleswig-Holstein zieht weil er Lust dazu hat oder nen Job oder sonst was, behält der FS seine Gültigeit! Lebenslang... Und das tolle ist, du darfst in der ganzen EU damit fahren!

Der gilt doch eh Deutschlandweit, drauf steht halt die Stadt in der die Behörde ist.

Schätze mal ja, da der Führerschein ja in ganz Deutschland gilt, egal, wo er gemacht wurde.