Beweis durch ein Gegenbeispiel?
Wenn ich eine Behauptung widerlegen soll z.B.:
P(A\B) = P(A) \ P(B)
P = POTENZMENGE
Reicht es dann ein Gegenbeispiel anzuführen wo das ganze nicht gilt?
Also für A und B 2 verschiedene Mengen angeben und das ganze ausrechnen?
Ist das dann eine ausreichende Beweisführung?
4 Antworten
Die wichtigste Info fehlt bei der Behauptung in deiner Frage:
• Soll die Behauptung für ALLE Mengen A und B gelten?
Dann reicht zum Widerlegen 1 Gegenbsp.
• Oder sagt die Behauptung, dass es solche Mengen gibt, für die das gilt.
Dann muss zum Widerlegen gezeigt werden, dass es KEINE solchen Mengen gibt, also dass es für ALLE Mengen NICHT gilt.
Da Ø ∈ P(X) für alle X, gilt Ø ∈ P(A\B), P(A) und P(B). Daher Ø ∈ P(A\B) und Ø ∉ P(A)\P(B). Folglich gilt ∀A,B: P(A\B)≠P(A)\P(B).
Das heißt, diese Gleichung ist nicht nur [nicht (allgemein gültig)], sondern [allgemein ungültig].
Den Unterscheid soll man wie du sagst auf jeden Fall sich merken. Hier gilt das Stärkere von den beiden (deine 2).
Na klar.
Wenn behauptet wird, dass diese Gleichung allgemeingültig ist, kannst du mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass das nicht so ist.
Denn dann ist diese Gleichung nicht mehr allgemeingültig, sondern gilt nur für bestimmte Werte.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Ja, zur Widerlegung reicht ein einziges Beispiel aus.
ok danke
A = { 1; 2 } B= {2; 3} A\B = {1}
P(A) = { {}; {1}; {2}; {1;2} }
P(B) = { {}; {2}; {3}; {2;3} }
P(A\B) = { {}; {1} }
P(A) \ P(B) = { {1}; {1;2} }
Also gilt die Behauptung im Allgemeinen nicht.
Mit beweisen oder widerlegen sie ist einfach gemeint, dass du zeigen sollst, ob diese Behauptung allgemein gilt.
Wenn das der Fall ist, kannst du sie beweisen, wenn nicht, widerlegen (durch ein Gegenbeispiel).
LG Willibergi
Ok. weil ich hatte eine aufgabe (Uni) und da war die aufgabr mit den potenzen. da stand "Beweisen oder wiederlegen sie dass..." und habe dann einfach 2 mengen genommen und das ganze so widerlegt.
Sag doch einfach mal die ganze Aufgabe.
Hallo,
als Albert Einstein gehört hatte, daß die Nazis ein Buch herausgegeben hatten, das sich '100 Autoren gegen Einstein' nennt, meinte dieser dazu nur:
Wenn ich mich geirrt habe, reicht einer.
So funktioniert das mit Beweisen durch Gegenbeispiele: Eins genügt völlig.
Herzliche Grüße,
Willy
Beweisen oder widerlegen Sie: P(A\B) = P(A) \ P(B)