Wie genau funktioniert ein Nachsendeauftrag?

Und die Verteilerstelle wird doch nicht jede Adresse abgleichen, ob da ein Nachsendeauftrag besteht.

Doch.

bekommt der Absender dann von der Post Bescheid

Wenn der Absender eine entsprechende Vorausverfügung auf den Brief schreibt: "Bei Umzug mit neuer Anschrift zurück!" Liegt dann ein Nachsendeauftrag des Empfängers wegen Umzugs vor, wird die
Sendung zurückgesandt; hat der Empfänger in die Weitergabe der neuen
Anschrift eingewilligt, wird diese auf der Sendung vermerkt.

den Nachsendeauftrag gibst bei deiner Post ab, dort wird alles weitere geregelt. Die Zeit ist befristet. Du solltest schleunigst bei allen deine neue Adresse mitteilen.

Der Nachsendeauftrag beinhaltet, dass die Briefpost an die neue Adresse weitergeleitet wird. Der Adressabgleich wird bundesweit zentral in Frankfurt vorgenommen. Der Absender wird über die neue Anschrift nicht unterrichtet. Das kann man allerdings kostenfrei mit der Umzugsmitteilung vornehmen lassen. Die Vorteile und die Unterschiede der beiden Post-Dienste werden hier erklärt. Siehe: http://www.post-ummelden.de/umzugsmitteilung/ - der Nachsendeauftrag hat eine sehr hohe Sicherheit. Man sollte den Beauftragungszeitraum nicht zu kurz wählen und darauf achten, dass man den Nachsendeservice der Deutsche Post nutzt und nicht etwa überteuerte Angebote nutzt, die im Web überall angeboten werden. 

Ich bin vor kurzem auch mit Nachsendeauftrag umgezogen und finde, dass man sich das Geld durchaus sparen kann.

Wenn man schon 3-6 Monate vor dem Umzug weiß, dass man umziehen möchte, dann einfach jeden Brief und Katalog, der kommt, aufheben und sich einmal im Monat hinsetzen und die Absender mit der neuen Adresse versorgen. Wer sich über ein halbes Jahr nicht postalisch meldet, ist wahrscheinlich auch nicht so relevant, dass man nicht darauf verzichten könnte. 

Wenn man trotzdem Angst hat, dass etwas Wichtiges verloren geht, der kann zum Beispiel hier http://www.umzugsclub.de/vorbereitung/nachsendeauftrag eine Checkliste finden, wen man in jedem Fall benachrichtigen sollte. Dann sollte eigentlich nichts passieren und auch wenn es nur um die 20 Euro sind, die so ein Nachsendeauftrag kostet, kann man die sich sparen. Also bei mir wäre es auch ohne gegangen, da ich nur Unwichtiges über den Nachsendeauftrag erhalten habe. 

Das funktioniert ueber die Verteilerstelle, ich denke das ist automtisch wie so ziemlich alles da.

Der Absender bekommt aber keine Nachricht, dass die Adresse sich geaendert hat.