Gauss Verfahren Zeilen miteinander multiplizieren erlaubt?

Darf man z.B. die erste Zeile mal die dritte Zeile nehmen?

Nein.

Die Zeilen (wie auch die Spalten) lassen sich als Vektoren in einem verallgemeinerten mathematischen Sinne als Elemente des ℝⁿ auffassen. 

Für Vektoren ist zunächst einmal die Addition untereinander und eine Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl) definiert.

Du kannst also eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren und das Ergebnis mit einer anderen Zeile (oder dem reellen Vielfachen davon) addieren. Das nennt man eine Linearkombination.

Multiplikation untereinander gibt es im Allgemeinen nicht in diesem Sinne.

Im ℝ³, namentlich in der Physik, kennt man zwei Arten von Produktbildung:

1. Das Vektor- oder Kreuzprodukt

(1) u⃑ × v⃑ = –(v⃑ × u⃑)    mit    |u⃑ × v⃑| = |u⃑|·|v⃑|·sin(α),

dessen Richtung sich nach der rechte-Hand-Regel richtet. Das gibt es allerdings nur in 3D, denn in 2D gibt es keinen zu zwei nicht parallelen Vektoren senkrechten Vektor, und in 4D+ steht eine ganze Ebene auf zwei Vektoren senkrecht.

2. Das Skalarprodukt

(2) u⃑ · v⃑ = v⃑ · u⃑ = |u⃑|·|v⃑|·cos(α)

mit dem Winkel α zwischen u⃑ und v⃑, das freilich, wie der Name schon sagt, einen Skalar ergibt. Es ist symmetrisch.

Eine beliebige Drehung des Koordinatensystems lässt (2.1) invariant.

In der Mathematik pflegt man nicht den Vektorpfeil zu benutzen und schreibt das Skalarprodukt als

(3.1) ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩,

d.h. es ist ebenfalls symmetrisch, wenn die Vektoren reelle Vektoren sind.

Das Skalarprodukt lässt sich als Matrizenmultiplikation eines Zeilenvektors (links) mit einem Spaltenvektor (rechts) auffassen.

In Anlehnung an Paul DIRAC, einen der Väter der Quantenmechanik, lassen sich Spaltenvektoren als sog. Ket-Kektoren |u⟩ und Zeilenvektoren als sog. Bra-Vektoren ⟨u| schreiben (Bra-Ket, von engl. (angle) bracket, für die dreieckige Klammer) und das Skalarprodukt als

(3.2) ⟨u|v⟩ = ⟨v|u⟩.

in jedem Fall wird dabei jedes Element von ⟨u| mit einem von |v⟩ multipliziert und entlang der Zeile ⟨u| bzw. der Spalte |v⟩ aufsummiert. 

Die andere Möglichkeit, Vektoren als Matrizen miteinander zu multiplizieren, ist das dyadische Produkt |u⟩⟨v|, eine Matrix mit Rang 1. Es ist symmetrisch, wenn die Vektoren parallel oder antiparallel sind, d.h. einer ein reelles Vielfaches des anderen ist. Anderenfalls kann man zudem durch

½·(|u⟩⟨v| – |v⟩⟨u|)

den antisymmetrischen Teil extrahieren, das in 3D eng mit dem oben erwähnten Kreuzprodukt zusammenhängt.

Elementweises Multilizieren ohne Aufsummieren ergibt jedoch keinen mathematischen oder physikalischen Sinn, wie schon @Drainage anhand eines Beispiels aufgezeigt hat.

Natürlich nicht.