Formel rekursiv explizit exponentielles Wachstum

F. Bei monatlicher Verzinsung wird in der Formel 1+p durch (1+p)^(1/12) ersetzt, p im Nenner aber durch (1+p)^(1/12) -1.

Wahrscheinlich ist am Ende praktischer, die Formel nicht mit dem Zinsfuß p, sondern mit der Basis 1+p der Exponentialfunktion anzugeben, mit der am Ende gerechnet wird; dann müssen soche Anpassungen nicht für Zähler und Nenner getrennt überlegt werden.

Die Rückzahlung beträgt q = 1000, es ist die Lage nach n = 120 Monaten zu bestimmen. a_ 0 ändert sich gegenüber der vorherigen Rechnung nicht.

Ergebnis: Peter kommt besser weg, nach 10 Jahren, also 120 Monaten beträgt die Schuld noch 16611,38 €

Mit den gleichen Änderungen beträgt die Zeit bis zur Schuldenfreiheit 137,3636 Monate, also 11 Jahre 5,36 Monate, also etwas früher als im anderen Modell.

G. Es kann natürlich auch sein, dass die genauen Bedingungen noch anders sind, so dass diese Rechnung auch falsch ist. An dir, genauere Informationen bereitzustellen...

C. Fortsetzung: Inzwischen bekam ich die Formel für die nichtrekursive Darstellung heraus. Sie lautet:

a_ n = a_0 * (1+p)^n - q * ((1+p)^n -1)/p,

wobei p der Zinsfuß ist (hier: 6% = 0,06), a_0 die Höhe des Kredits, q die Höhe der Rückzahlung in einer Verzinsungsperiode.

Das Ergebnis für die Schuld nach 10 Jahren teilte ich schon mit; nach Formel kommt natürlich das Gleiche heraus.

D. Herleitung der Formel:

In den ersten Jahren schuldet Peter:

a_ 0

(1+p) * a_ 0 - q

(1+p)² * a_0 - q * (1+p) -q

(1+p)³ * a_0 - q * (1+p)² -q * (1+p) - q

usw., d.h. von der exponentiell wachsenden Schuld (a_ 0) * (1+p)^n wird eine Tilgung abgezogen, die als geometrische Reihe ebenfalls exponentiell wächst. Der Rest ist etwas Basteln mit der Summenformel für die geometrische Reihe (gibt es bei Bedarf in der Wikipedia). Viel Spaß (und bei Bedarf Unterstüztung) beim "Nachbasteln"

E. Um nun herauszubekommen, wann Peter schuldenfrei ist, fasse ich das betrachte ich die Funktion

f(x) = a_0 * (1+p)^x - q * ((1+p)^x -1)/p

und bestimme die Nullstellen; es gibt (erwartungsgemäß) genau eine, und zwar bei

x = (ln q - ln (q - ap) / ln (p +1);

Tipp: In der Gleichung f(x) = 0 lässt sich p^x ausklammern. Beachte bei der Umformung, dass Logarithmen negativer Werte nicht definiert sind. Wenn z.B. q < ap, also in einer Verzinsungsperiode weniger gezahlt wird, als tatsächlich an Zins neu anfällt, existiert logischerweise keine Nullstelle.

Peter ist rein rechnerisch nach 11,895 Jahren schuldenfrei.

F. . Fortsetzung folgt: Ich rechne noch aus, was herauskommt, wenn das so funktioniert, wie z.B. Mikkey vorschlägt.

Die Antwort hängt entscheidend davon ab, zu welchem Zeitpunkt die Zinsen fällig werden. Ein monatlicher Zins von 6% kommt mir unrealitisch vor (eher ein Jahreszins in der Höhe). Ich gehe mal davon aus, dass die ersten Zinsen vom gezahlten Darlehen ausgehgend gerechnet werden (und nicht erst am Ende des ersten Jahres, was die Alternative wäre).

Wenn die Voraussetzungen anders sind, ist anderse zu rechnen (und meine Rechnung also falsch). Ich hoffe, dass diesem Fall meine Rechnung als Beispiel etwas nützt.

A. Start und Rekursionsbedingung der Folge sind:

Beginn mit a_ 0 = 100 000 € (Schulden), also n = 0

Schulden vor je einer Verzinsung: a_ n

Schulden nach je einer Verzinsung a_ n * 1,06 ( = 100% + 6% = 106% von a_ n)

Schulden abzüglich Zahlung über 12 Monate ergeben den Startwert für den nächsten Rechendurchgang:

a_ (n+1) = a_ n * 1,06 - 12 000

Berechnet werden soll a_ 10.

B. Der Rechner bekommt per Kurzprogramm heraus: a_ 10 = 20915,16 €

CLS

a = 100000

    FOR i = 1 TO 10

a = a * 1.06

a = a ‑ 12000

PRINT "Jahr: "; i; "; Restsumme:"; a

    NEXT i

C. Fortsetzung mit der eigentlich gewünschten Formel folgt und der Lösung, wann Peter schuldenfrei ist, folgt.

Nach einem Monat ist der Kredit auf 100486,75505653430375411989455875 Euro angewachsen, davon werden 1000 Euro abgezogen. Den Rest darfst Du allein rechnen.