Darf man alles Googlen und was nicht?

Es gibt sicherlich Beschränkungen. Eine, die mir bekannt ist, hat mit Kinderpornographie zu tun.

§ 184c Strafgesetzbuch Absatz 3:

"Wer es unternimmt, sich den Besitz an einer jugendpornographischen Schrift, die ein tatsächliches Geschehen wiedergibt, zu verschaffen, oder wer eine solche Schrift besitzt, wird mit Freiheitsstrafe bis zu zwei Jahren oder mit Geldstrafe bestraft."
Quelle: https://dejure.org/gesetze/StGB/184c.html

Und § 184d Absatz 2:

"Nach § 184b Absatz 3 wird auch bestraft, wer es unternimmt, einen kinderpornographischen Inhalt mittels Telemedien abzurufen. Nach § 184c Absatz 3 wird auch bestraft, wer es unternimmt, einen jugendpornographischen Inhalt mittels Telemedien abzurufen; § 184c Absatz 4 gilt entsprechend. §184b Absatz 5 und 6 Satz 1 gilt entsprechend."
Quelle: https://dejure.org/gesetze/StGB/184d.html

Demnach ist schon das Suchen nach kinder- & jugendpornographischen Inhalten strafbar, wenn ich mich nicht täusche.

Kopiert aus einer anderen, gleichen Frage:

(1) Jeder hat das Recht, seine Meinung in Wort, Schrift und Bild frei zu äußern und zu verbreiten** und sich aus allgemein zugänglichen Quellen ungehindert zu unterrichten**. Die Pressefreiheit und die Freiheit der Berichterstattung durch Rundfunk und Film werden gewährleistet. Eine Zensur findet nicht statt.

Artikel 5 Absatz 1 unseres Grundgesetzes. Also: Ja, natürlich

Du darfst grundsätzlich nach allem Suchen das alleine ist nicht verboten.

Generell vorsicht geboten ist aber bei Dingen bei welchen die Beschaffung illegal ist.

Ein sehr heikles Thema ist hier zB Kinderpornografie. Dadurch, dass diese ja nicht per Post verschickt wird und die Beschaffung davon illegal ist, ist es eine gewisse Grauzone. Du kannst danach suchen um allgemeine Informationen über das Thema nachzulesen aber du darfst nicht danach suchen wenn du aus bist an so ein Material zu kommen.

Sprich die gezielte Suche die sich auf die Beschaffung selbst bezieht kann bereits unter Strafe gestellt werden.

Eine andere Sache ist natürlich, dass deine Suchbegriffe durchaus auch als Beweismittel oder zumindest Indizien herangezogen werden können. Nehmen wir mal an du wirst unschuldigerweise beschuldigt Drogen aus dem Internet zu kaufen. Sofern dann dein PC beschlagnahmt wird und du nach einschlägigen Suchbegriffen gesucht hast ist das für die Polizei zumindest ein Indiz, dass du das tatsächlich gemacht hast, auch wenn du eigentlich nichts gemacht hast.

In Deutschland ist die Rechtssprechung gegenüber solchen reinen Indizien zwar nicht besonders anfällig, in den USA kannst du aber theoretisch wegen genau so etwas verurteilt werden, solche Fälle sind durchaus bekannt. Oft auch mit einem erzwungenen Geständnis.

Also zuerst gehst du auf ein paar islamistische Propagandaseiten des IS, oder Rechtsextremistische Seiten. Dann suchst du nach Anleitungen zum Bau von Bomben. Im Anschluss suchst du nach Orten, wie etwa dem Weißen Haus, Pentagon, oder Reichstag, Flughäfen etc.

Dann dürftest du Recht schnell die Aufmerksamkeit einiger Geheimdienste auf dich ziehen. Die nutzen zum Teil automatische Server, welche stichprobenartig etliche Suchanfragen diverser Nutzer analysieren.

Googlen darf man alles. Ob man die Seiten dann auch noch aufmachen darf, bestimmt die Rechtslage. Oder Deine Position. Manche dürfen es, zum Beispiel um zu recherchieren.