Ich bitte vorerst um keine Belehrungen

Es wurde von einer Familie mit 3 Kinder eine Wohnung bezogen die zu groß und zu teuer war. Beim jobcenter wurde ein gefälschter Mietvertrag eingereicht. Dies fiel zuerst nicht auf. Die Familie zahlte den Rest der Miete aus eigener Tasche. Nach einem Jahr flog das ganze auf und die Vermieterin kündigte das Mietverhältnis Fristlos. Ist Das ein wirksamer Kündigungsgrund wenn Miete bezahlt wurde?

Sie hat zusätzlich Anzeige bei der Polizei erstattet. Die Familie ist hier mit Anwälten vertreten. Nun findet sie nach Ablauf der Kündigungsfrist (die Vermieterin gewährte 3 Monate) keine Wohnung und möchte die Wohnung eigentlich auch nicht verlassen. Zudem ist fast Dezember und Jahreswechsel wo ein Wohnungstausch generell ziemlich erschwert ist. Leider wurde aus Angst und Unwissenheit auch kein Widerspruch eingereicht um die Vermieterin nicht zu verärgern.

Was sind die Möglichkeiten der Familie? Es gibt keine einzige bezahlbare passende Wohnung in der Umgebung?

Die Kinder sind 1,3 und 6 jahr. Das älteste Kind gerade eingeschult und Schulweg von 5 min. Kindergärten ebenfalls in 20 min Reichweite.

Zudem ist es für einen 5 Personen Haushalt extrem schwierig.

Wer hat Rat wer kann helfen