Jammerjule, schau doch mal genau den Kontoauszug an, wo die Rate von Deiner Hausbank abgebucht wird. Bei mir ist es so, daß die öfter früher abbuchen, wegen Wochenende oder Feiertag, aber bei "Wert" steht dann schon der 1. des Monats. Falls das nicht so ist, würde ich Dir raten, rede erst mal mit der Bank, wenn sie nicht einlenken, kannst immer noch rechtlich was machen.
400-Euro-Jobs muß man bei der Knappschaft anmelden (auch Minijobzentrale genannt), ich denke das geht sogar online, die Links hast Du ja schon bekommen. Hier habe ich noch etwas über die Beiträge der Privathaushalte gefunden: Der Minijobber übernimmt diese haushaltsnahen Dienstleistungen, die normalerweise Familienmitglieder ausführen. Der Arbeitgeber zahlt geringere Pauschalbeiträge als bei gewerblichen Minijobs. Die Pauschalbeiträge zur Renten- und Krankenversicherung belaufen sich auf jeweils 5 Prozent. Hinzu kommen Umlagen zum Ausgleich der Arbeitgeberaufwendungen bei Krankheit um Mutterschaft in Höhe von 0,74 Prozent, Beiträge zur gesetzlichen Unfallversicherung in Höhe von 1,6 Prozent, gegebenenfalls noch eine einheitliche Pauschsteuer in Höhe von 2 Prozent. Die Abgaben werden im Haushaltsscheckverfahren per Einzugsermächtigung vom Konto des Arbeitgebers von der Minijob-Zentrale eingezogen. Der Einzug erfolgt halbjährlich für die Monate Januar bis Juni am 15. Juli des laufenden Kalenderjahres und für die Monate Juli bis Dezember am 15. Januar des Folgejahres. Quelle: http://www.minijob-zentrale.de/nn_10152/sid_1C69CD4DA550DB2486D59CA22F4FC9B7/nsc_true/DE/3__Privathaushalte/NavNode.html?__nnn=true
Wenn Deine Großmutter die Frist tatsächlich versäumt hat, dann muß sie wohl zahlen, aber sie kann natürlich ganz normal kündigen, aber wahrscheinlich nur zum Jahresende. Das sollte sie aber gleich (schriftlich per Einschreiben) tun und sich eine Kündigungsbestätigung schicken lassen, damit es dieses Mal klappt.