Knobelaufgabe, Frage zur Herleitung?

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Tipp vorab: Es ist sofort nahe liegend, anhand der Formulierung des Problems, dass es hilfreich sein wird, wenn man seine sprachlichen Mittel ergänzt, damit man sich auf die Zeitpunkte explizit beziehen kann. Das ermöglich, dass man differenziert und klarer die Verhältnisse zum Ausdruck bringen kann.

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Bezeichne mit A(t) bzw. R(t) das Alter des Autos bzw. der Reifen zum Zeitpunkt t. Bezeichne mit t₁ den Zeitpunkt, der „jetzt“ entspricht. Bezeichne mit t₀ (< t₁) den Zeitpunkt von „damals“ als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind. Bezeichne mit t₂ (> t₁) den „zukünftigen“ Zeitpunkt, wann die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist. D. h.

1...    A(t₀) = R(t₁)
2...    R(t₂) = A(t₁)

Darum bedeuten

Ein Auto ist siebenmal so alt, wie die Reifen waren, als das Auto so alt war, wie die Reifen jetzt sind
Bed. II...    A(t₁) = 7·R(t₀)

und

Wenn die Reifen so alt sein werden, wie das Auto jetzt ist, dann sind Auto und Reifen zusammen 51 Jahre alt.
Bed. I...    A(t₂) + R(t₂) = 51

Nun gilt allgemein

(AP)...    A(t´) – A(t) = R(t´) – R(t) = t´– t für alle t, t´ ∈ ℝ

weil der Alternprozess linear ist. Die erste Bedingung lässt sich wie folgt vereinfachen:

R(t₀) = R(t₁) – (t₁–t₀) wegen AP
= R(t₁) – (A(t₁)–A(t₀)) wegen AP
= R(t₁) – (A(t₁) – R(t₁)) wegen 1 *** ⟵ das suchst du ***
= 2R(t₁) – A(t₁)
⟹ mittels Bed I
4...    A(t₁) = 7·R(t₀) = 7(2R(t₁) – A(t₁))

Daraus ergibt sich R(t₁) = 4/7 · A(t₁).

Bedingung II wird wie folgt behandelt:

A(t₂) = A(t₁) + (t₂–t₁) wegen AP
= A(t₁) + (R(t₂)–R(t₁)) wegen AP
= A(t₁) + (A(t₁)–R(t₁)) wegen 2
= 2A(t₁) – R(t₁)
⟹ mittels Bed II
5...    51 = A(t₂) + R(t₂) = A(t₂) + A(t₁) wegen 2
           = 3A(t₁) – R(t₁)

Daraus folgt 51 = (3 – 4/7)·A(t₁), also A(t₁) = 51·7/17 = 21 und damit R(t₁) = 4/7 · 21 = 12.

1AnonymerTyp 
Beitragsersteller
 29.08.2018, 09:32

Bei mir sehen leider alle Formel so aus:

R(t□) – (A(t□)–A(t□)) das führt zu etwas Verwirrung.

kreisfoermig  29.08.2018, 09:34
@1AnonymerTyp

Ach Mist. Versuchs auf deinem Rechner oder im Browser auf deinem Handy. Da sind 3 Zeitpunkte t0, t1, t2. Ich setzte Sonderzeichen ein, die dein Handy nicht anzeigen.

1AnonymerTyp 
Beitragsersteller
 29.08.2018, 09:35
@kreisfoermig

Ich gucke nachher mal aufm PC. Aber schonmal vorab danke, dass du dir die Zeit genommen hast. (Bin gerade im Handybrowser)

"in I:

A=1,75*12

A=21"

Habe in der Frage ein * vergessen (falls die Frage nicht überarbeitet wird)

Demnach müsste das Auto sieben mal älter sein als die Reifen. Das kann ich aus dem 1. Satz ableiten.