Das Urheberrecht liegt bei dem Webdesigner, denn er ist der Urheber, also derjenige, der das Logo erstellt hat. Das Urheberrecht gilt ganz automatisch (also ohne dass man irgendetwas anmelden müsste) für denjenigen, der Urheber eines Werkes ist. Das Urheberrecht bleibt auch immer bei dieser Person, es kann nicht übertragen oder verkauft werden.

Ich gehe aber davon aus, dass der Webdesigner dir das Nutzungsrecht eingeräumt hat. Das heißt, dass du das Logo benutzen darfst. In welcher Weise das passiert, kann der Urheber (vertraglich) festlegen, da müsstest du also nochmal überlegen, was genau ihr abgemacht habt. Wenn der Webdesigner dir z.B. erlaubt hat, das Logo für deine Website zu nutzen und du fängst an, es auf Produkte oder Plakate zu drucken, dann kann er dich verklagen.