Also ein erste Schritt wäre wohl, wenn auch der andere Partner im Mietvertrag aufgenommen würde. Einfach mal mit dem Vermieter reden.
Als Zweites, wie schon hier geschrieben, ein Attest vom Arzt holen, dass ein Umzug wegen Krankheit nicht möglich ist - allerdings hilft das Attest heute nix ... das muss schon relativ zeitnah geholt werden. Aber mit dem Arzt drüber reden könnte man ja schon mal im Vorfeld.
Als dritte Möglichkeit käme in Betracht, den Teil der Miete, die durchs Amt nicht gedeckt wird, selbst zu tragen - weiß nur nicht, ob das überhaupt möglich ist.