Durch die Arbeit für die Firma hast du ja wahrscheinlich schon einige Kontakte geknüpft. Dadurch kannst du dich ganz gut umhören, ob es auch vakante Stellen für eine Festanstellung gibt. Zudem würde ich den Auftraggeber ansprechen und ihm sagen, dass auf der Suche nach einer Festanstellung bist und ob er da vielleicht eine Idee hätte. Wenn er etwas weiß, könntest du ihm anbieten, dass du ihm deine Bewerbungsunterlagen zukommen lassen kannst.