Unfall in der Freizeit während der Dienstreise - bin ich über den Arbeitgeber versichert?

Nein, nicht standardmäßig.

Der berufsgenossenschaftliche Unfallversicherungsschutz gilt da nicht, da Deine Aktivität nicht dienstlich, sondern eigenwirtschaftlich bedingt ist. Es könnte allenfalls sein, dass Dein Arbeitgeber über die berufsgenossenschaftliche Versicherung hinaus eine (Gruppen)Unfallversicherung abgeschlossen hat. Dies mußt Du aber bei Deinem Arbeitgeber erfragen.